Betti Number

释义 Definition

Betti number（贝蒂数）：代数拓扑中的一个重要不变量，用来衡量一个空间在某个维度上“有多少个独立的洞”。更正式地说，第 \(k\) 个贝蒂数 \(b_k\) 通常等于该空间第 \(k\) 个同调群（常取系数为 \(\mathbb{Q}\) 或某个域）秩的大小，表示 \(k\) 维“循环/洞”的独立数量。（不同语境下也会涉及约化贝蒂数等变体。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈbɛti ˈnʌmbər/

例句 Examples

A circle has Betti number \(b_1 = 1\).
一个圆的贝蒂数 \(b_1 = 1\)。

In data analysis, people sometimes compute Betti numbers from a simplicial complex to summarize the shape of a point cloud.
在数据分析中，人们有时会从一个单纯复形计算贝蒂数，用来概括点云数据的“形状”。

词源 Etymology

“Betti number”以意大利数学家 Enrico Betti（恩里科·贝蒂） 命名，他在19世纪的工作推动了拓扑不变量与“洞”的计数思想的发展；“number”表示这是一个可用于区分空间拓扑结构的数值不变量。

相关词 Related Words

• Homology
• Cohomology
• Simplicial
• Simplicial Complex
• Euler Characteristic
• Topological Invariant
• Persistent Homology
• Connected Component

文学与著作中的用例 Literary Works

• Algebraic Topology — Allen Hatcher（教材中用贝蒂数描述空间各维度同调的“自由度/秩”）
• Elements of Algebraic Topology — James R. Munkres（讨论同调群与贝蒂数、欧拉示性数等关系）
• Differential Forms in Algebraic Topology — Raoul Bott & Loring W. Tu（在德拉姆上同调与拓扑不变量的语境中出现）
• Algebraic Topology — Edwin H. Spanier（系统性使用同调与相关不变量，包括贝蒂数）