Bolzano–Weierstrass 定理（聚点定理）：在欧几里得空间（常见为 \(\mathbb{R}^n\)）中，任何有界序列都至少存在一个收敛子序列。等价表述之一是：\(\mathbb{R}^n\) 中任何无限有界集合都有聚点（极限点）。该定理是实分析与拓扑中“紧性/序列紧性”思想的重要基础。（注：在更一般的空间里，这种等价关系不一定成立。）
/bɔːlˈtsɑːnoʊ ˈvaɪərˌstræs/
Every bounded sequence in \(\mathbb{R}\) has a convergent subsequence by the Bolzano–Weierstrass theorem.
根据 Bolzano–Weierstrass 定理，\(\mathbb{R}\) 中每个有界序列都有一个收敛子序列。
Using Bolzano–Weierstrass, we extract a convergent subsequence from the bounded sequence and then show its limit lies in the closed set.
利用 Bolzano–Weierstrass 定理，我们从有界序列中抽取收敛子序列，并进一步证明其极限属于该闭集。
该名称来自两位数学家：Bernard Bolzano（伯纳德·博尔查诺）与 Karl Weierstrass（卡尔·魏尔施特拉斯）。它反映了 19 世纪实分析逐步走向严格化的历史：用“有界”“子序列”“收敛”等概念精确刻画直观的“不会跑到无穷远、因此总能聚到某处”的思想。
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