C-Transform

Definition / 定义

c-transform（c-变换）：最常见于最优输运（optimal transport）理论中的一个运算。给定一个“代价函数” \(c(x,y)\) 和一个函数 \(f\)，它把 \(f\) 变为一个新的函数（常记为 \(f^c\)），用于构造对偶问题、描述 c-凸性（c-convexity），类似于在特定代价下的“广义勒让德变换”。

Pronunciation / 发音

/ˈsiː ˌtrænsfɔːrm/

Examples / 例句

The c-transform helps us build the dual problem in optimal transport.
c-变换帮助我们在最优输运中构造对偶问题。

Under the quadratic cost, the c-transform plays a role similar to a generalized Legendre transform and is used to define c-convex potentials.
在二次代价下，c-变换的作用类似一种广义的勒让德变换，并用于定义 c-凸势函数。

Etymology / 词源

由字母 c（通常指 cost，即“代价函数” \(c(x,y)\)）+ transform（变换）构成。该术语随康托洛维奇（Kantorovich）对偶理论及后来的最优输运研究而广泛使用，用来表示“在给定代价 \(c\) 下的变换/对偶化”。

Related Words / 相关词

• Cost
• Transform
• Optimal Transport
• Duality
• Convex
• Legendre Transform
• Kantorovich
• Potential

Literary Works / 文学与典籍

• Optimal Transport: Old and New（Cédric Villani）——系统讨论最优输运，对 c-transform 与对偶性有经典阐述。
• Optimal Transport for Applied Mathematicians（Filippo Santambrogio）——应用导向介绍，涉及 c-凸性与相关变换。
• Computational Optimal Transport（Gabriel Peyré & Marco Cuturi）——计算视角讲解最优输运，常用到与 c-transform 相关的对偶与势函数概念。