Completeness Theorem

定义 Definition

完备性定理：在逻辑与数学基础中，指某个形式系统满足“语义蕴涵与语法可证相一致”的性质。最常见的是一阶逻辑的完备性定理：如果一个公式在所有模型中都为真（语义上有效/被蕴涵），那么它在该证明系统中一定可以被证明（语法上可证）。
（在不同领域也有其他“完备性定理”，但以上是最常见用法。）

发音 Pronunciation (IPA)

/kəmˈpliːtnəs ˈθiːərəm/

例句 Examples

If a statement is true in every model, the completeness theorem says it is provable.
如果一个命题在每个模型中都为真，完备性定理说明它是可证明的。

In her paper, she used the completeness theorem to connect semantic validity with formal derivations in first-order logic.
在她的论文中，她用完备性定理把一阶逻辑中的语义有效性与形式推导联系起来。

词源 Etymology

completeness 来自 complete（“完整的”）+ -ness（名词后缀），表示“完备性/完整性”；theorem 源自希腊语 theōrēma，意为“经由思考得到的结论/定理”。合起来表示“关于系统是否‘完备’这一性质的定理”。

相关词 Related Words

• Soundness
• Consistency
• First-Order Logic
• Model
• Provability
• Validity
• Gödel
• Axiomatic System

文学与名著用例 Literary Works

• Kurt Gödel, “Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls”（1930）：提出并证明一阶逻辑完备性定理的经典论文。
• Elliott Mendelson, Introduction to Mathematical Logic：标准教材中系统讲解完备性定理与其证明思路。
• Herbert B. Enderton, A Mathematical Introduction to Logic：以清晰的方式呈现完备性定理、紧致性等相关结果。
• George S. Boolos, John P. Burgess, Richard C. Jeffrey, Computability and Logic：在可计算性与逻辑基础的框架下讨论完备性与可证性关系。