General Linear Group

Definition｜释义

一般线性群：在线性代数与群论中，指由所有可逆的 \(n\times n\) 矩阵在矩阵乘法下构成的群，通常记作 \(GL(n, F)\)（其中 \(F\) 是一个域，如实数 \(\mathbb{R}\) 或复数 \(\mathbb{C}\)）。它刻画了“保持向量空间结构的可逆线性变换”。

Pronunciation｜发音（IPA）

/ˈdʒenrəl ˈlɪniər ɡruːp/

Examples｜例句

The general linear group \(GL(n,\mathbb{R})\) consists of all invertible \(n\times n\) real matrices.
一般线性群 \(GL(n,\mathbb{R})\) 由所有可逆的 \(n\times n\) 实矩阵组成。

In representation theory, a group action is often realized as a homomorphism into a general linear group.
在表示论中，群作用常常通过一个到一般线性群的同态来实现。

Etymology｜词源

“general linear group”由三部分组成：general（一般的、最广义的）+ linear（线性的）+ group（群）。它强调的是“所有可逆线性变换”这一最通用的情形；相对地，像 \(SL(n,F)\)（特殊线性群）则是在 \(GL(n,F)\) 的基础上再加上“行列式为 1”等额外约束。

Related Words｜相关词汇

• Matrix
• Invertible
• Determinant
• Linear Transformation
• Vector Space
• Group
• Homomorphism
• Representation
• Special Linear Group

Literary Works｜文学与典籍中的用例

• Algebra（Serge Lang）——在介绍线性群与线性代数结构时频繁使用 \(GL(n,F)\)。
• Algebra（Michael Artin）——用一般线性群来说明线性变换、行列式与对称性的关系。
• Linear Representations of Finite Groups（Jean-Pierre Serre）——将群表示视为映入一般线性群的同态，是核心语言之一。
• Representation Theory: A First Course（William Fulton & Joe Harris）——在表示论基础中大量出现一般线性群的记号与例子。