Hierarchical Matrix

定义 Definition

Hierarchical matrix（层次矩阵，常写作 H-matrix）是一类用“分层/分块”的方式来近似表示大规模稠密矩阵的数据结构与算法框架，常在许多子块上用低秩近似来压缩存储并加速矩阵运算（如求解线性方程组、矩阵乘法等）。该术语也可泛指“具有层次分块结构的矩阵”。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌhaɪəˈrɑːrkɪkəl ˈmeɪtrɪks/

例句 Examples

We use a hierarchical matrix to store the dense system efficiently.
我们用层次矩阵来高效存储这个稠密线性系统。

Hierarchical matrices allow fast approximate inverses and solvers for large problems arising from PDEs and integral equations.
层次矩阵可以为偏微分方程与积分方程产生的大规模问题提供快速的近似逆与求解器。

词源 Etymology

hierarchical 源自希腊语 hierarkhia（“等级/层级的统治与组织”之意），强调“按层次组织”。matrix 源自拉丁语 matrix（“母体、来源”），在数学中引申为“矩阵”。组合起来，hierarchical matrix 强调“以层次结构来组织与表示的矩阵（及其压缩表示）”。

相关词 Related Words

• H-Matrix
• Low-Rank Approximation
• Block Matrix
• Sparse Matrix
• Rank
• Preconditioner
• Fast Multipole Method
• Hierarchical Clustering

文献与著作 Notable Works

• Wolfgang Hackbusch, Hierarchical Matrices: Algorithms and Analysis（系统介绍 H-matrix 理论与算法的经典专著）
• Mario Bebendorf, Hierarchical Matrices: A Means to Efficiently Solve Elliptic Boundary Value Problems（侧重椭圆型边值问题与数值求解应用）
• Steffen Börm, Efficient Numerical Methods for Non-local Operators: H²-Matrix Compression, Algorithms and Analysis（涉及 H²-matrix 等层次压缩方法的代表性著作）