Lebesgue Number Lemma

释义 Definition

勒贝格数引理：在度量空间中，如果一个集合（通常是紧致集，如紧致度量空间本身或其子集）被一个开覆盖所覆盖，那么存在一个正数 δ（称为“勒贝格数”），使得任何直径小于 δ 的子集（或任何半径小于 δ/2 的球）都必定完全落在该开覆盖的某一个开集中。
（常用于把“开覆盖”转换成“统一尺度”的局部控制，是紧致性的重要工具。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ləˈbɛɡ ˈnʌm.bɚ ˈlɛm.ə/

例句 Examples

Every open cover of a compact metric space has a Lebesgue number.
紧致度量空间的每个开覆盖都存在一个勒贝格数。

Using the Lebesgue number lemma, we choose δ so that any set of diameter less than δ lies in some member of the cover, which lets us pass from local data to a uniform estimate.
利用勒贝格数引理，我们选取 δ，使得任意直径小于 δ 的集合都包含在覆盖中的某个开集中，从而把局部信息转化为统一的估计。

词源 Etymology

“Lebesgue”来自法国数学家 Henri Lebesgue（亨利·勒贝格） 的姓氏；“number”指这里保证存在的正数 δ；“lemma”源自希腊语 lēmma，意为“辅助命题/引理”，通常指为证明更重要定理而使用的关键步骤。

相关词 Related Words

• Compactness
• Open Cover
• Metric Space
• Uniform Continuity
• Heine–Borel Theorem
• Finite Subcover
• Partition Of Unity

文献与作品 Literary Works

• James R. Munkres, Topology（《拓扑学》）：在紧致性与度量空间的章节中常用该引理来处理开覆盖与一致控制。
• Stephen Willard, General Topology（《一般拓扑学》）：讨论紧致性、覆盖性质时会出现勒贝格数相关论证。
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis（《数学分析原理》）：在与紧致性、（一致）连续性相关的证明背景中常被引用或作为工具使用。