Lipschitz Function

定义 Definition

Lipschitz函数：一种“变化不太快”的函数，满足存在常数 \(L \ge 0\)，使得对所有 \(x,y\)（在给定定义域内）都有
\[ |f(x)-f(y)| \le L|x-y|. \]
直观理解：输入变化多少，输出变化最多按比例放大 \(L\) 倍，因此函数不会出现“无限陡”的跳变。（在数学中它也常被称为满足Lipschitz连续性的函数。）

发音 Pronunciation

/ˈlɪpʃɪts ˈfʌŋkʃən/

例句 Examples

A Lipschitz function cannot oscillate too wildly.
Lipschitz函数不会剧烈振荡。

If the vector field is Lipschitz, the differential equation has a unique solution for each initial condition.
如果向量场满足Lipschitz条件，那么该微分方程对每个初值条件都有唯一解。

词源 Etymology

“Lipschitz”来自德国数学家鲁道夫·利普希茨（Rudolf Lipschitz, 1832–1903）的姓氏；该概念在分析学与微分方程中用来刻画函数的“受控增长/受控变化”，并常用于保证解的存在唯一性等重要性质。

相关词 Related Words

• Continuous
• Uniformly Continuous
• Holder Continuous
• Bounded
• Gradient
• Contraction Mapping
• Banach Fixed-Point Theorem
• Differential Equation

文学作品 Literary Works

• Real and Complex Analysis（Walter Rudin）——在实分析框架中讨论Lipschitz连续与相关估计工具。
• Functional Analysis, Applications（Eberhard Kreyszig）——在泛函分析与算子理论语境下涉及Lipschitz型条件与不等式。
• Nonlinear Functional Analysis and its Applications（Eberhard Zeidler）——在非线性分析中频繁使用Lipschitz条件（如不动点法与迭代收敛）。
• Ordinary Differential Equations（Coddington & Levinson）——用Lipschitz条件阐述常微分方程解的存在与唯一性定理。