Power Series Solution

释义 Definition

幂级数解 / 幂级数解法：在微分方程或函数展开中，把未知函数表示为幂级数（如 \(\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\) 或以某点 \(x_0\) 为中心的 \(\sum a_n (x-x_0)^n\)），再通过代入方程求出系数，从而得到解的一种方法。常用于在普通点或正则奇点附近求解。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈpaʊər ˈsɪriːz səˈluːʃən/

例句 Examples

We found a power series solution near \(x=0\).
我们在 \(x=0\) 附近找到了一个幂级数解。

By substituting \(y=\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n\) into the differential equation, we derived a recurrence relation and obtained a power series solution valid within the radius of convergence.
把 \(y=\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n\) 代入微分方程后，我们推导出递推关系，并得到在收敛半径内有效的幂级数解。

词源 Etymology

power series 源自对“幂（power）”的使用：把函数写成自变量的各次幂之和；solution 表示“解”。合起来就是“用幂级数形式表示出来的解/用幂级数方法得到的解”。该术语在经典微积分与常微分方程的发展中逐渐固定下来，尤其常见于用泰勒级数思想处理微分方程的章节。

相关词 Related Words

• Analytic
• Taylor Series
• Maclaurin Series
• Radius Of Convergence
• Recurrence Relation
• Ordinary Differential Equation
• Frobenius Method
• Series Expansion

文学与著作中的用例 Literary Works

• Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems（Boyce & DiPrima，《常微分方程与边值问题》）：讨论用幂级数解法求解线性常微分方程。
• Advanced Engineering Mathematics（Erwin Kreyszig，《高等工程数学》）：在微分方程章节用幂级数解与递推公式处理典型方程。
• Differential Equations with Applications and Historical Notes（George F. Simmons）：以教学与历史脉络介绍幂级数解在经典方程中的应用。
• Theory of Ordinary Differential Equations（Coddington & Levinson）：在更理论的框架下涉及级数形式解与相关条件。