Rayleigh Quotient

释义 Definition

瑞利商（Rayleigh quotient）：在线性代数中，对非零向量 \(x\) 与矩阵 \(A\) 定义为
\[ R(x)=\frac{x^{T}Ax}{x^{T}x}\quad(\text{复数情形常写 } \frac{x^{*}Ax}{x^{*}x}) \] 它常用于估计矩阵（尤其是对称/厄米矩阵）的特征值；当 \(x\) 取到某个特征向量时，瑞利商就等于对应的特征值。也常用于变分法、数值算法（如特征值迭代）与Ritz近似中。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈreɪli ˈkwoʊʃənt/

例句 Examples

The Rayleigh quotient gives a quick estimate of an eigenvalue.
瑞利商可以快速估计一个特征值。

By maximizing the Rayleigh quotient over all nonzero vectors, we can characterize the largest eigenvalue of a symmetric matrix.
通过在所有非零向量上最大化瑞利商，我们可以刻画对称矩阵的最大特征值。

词源 Etymology

“Rayleigh”来自英国物理学家瑞利勋爵（Lord Rayleigh, John William Strutt），该概念与他在振动与谱性质相关的研究传统有关；“quotient”意为“商/比值”。整体名称强调它是一个以二次型比值形式出现的量，并在谱理论与振动问题中非常核心。

相关词 Related Words

• Eigenvalue
• Eigenvector
• Quadratic Form
• Symmetric Matrix
• Hermitian Matrix
• Variational Principle
• Ritz Method
• Spectral Radius
• Power Iteration
• Principal Component Analysis

文学与经典著作中的用例 Literary Works

• The Theory of Sound（Lord Rayleigh）：与振动、模态与相关谱思想紧密相连的经典著作体系中常涉及瑞利商/瑞利型比值思想。
• Matrix Analysis（Roger A. Horn & Charles R. Johnson）：在矩阵谱理论、变分刻画与特征值界中讨论瑞利商。
• Matrix Computations（Gene H. Golub & Charles F. Van Loan）：在数值线性代数算法（特征值计算、迭代方法）语境中频繁使用瑞利商。
• Numerical Linear Algebra（Lloyd N. Trefethen & David Bau III）：介绍特征值问题与相关估计时常用瑞利商。