Viscosity Solution

释义 Definition

粘性解 / 黏性解（偏微分方程）：一种用来处理可能不可微的偏微分方程（尤其是一阶哈密顿—雅可比方程与某些二阶非线性方程）的“弱解”概念。它不要求函数处处可导，而是用“测试函数在局部接触（上/下切）时满足不等式”的方式来定义解，从而保证良好的唯一性与稳定性（常依赖比较原理）。

发音 Pronunciation (IPA)

/vɪˈskɑːsɪti səˈluːʃən/

例句 Examples

A viscosity solution can exist even when the function is not differentiable.
即使函数不可微，也可能存在粘性解。

Using the comparison principle, we prove the uniqueness of the viscosity solution to the Hamilton–Jacobi equation under suitable boundary conditions.
利用比较原理，我们证明在适当边界条件下该哈密顿—雅可比方程的粘性解是唯一的。

词源 Etymology

viscosity 源自拉丁语 viscosus（“黏的、粘稠的”），原本是流体力学中“粘度”的物理概念；solution 源自拉丁语 solutio（“解开、解除”），在数学中指“解”。“viscosity solution（粘性解）”这一术语借用了“粘性/黏性”的意象：可理解为通过一种带“平滑/正则化效果”的方法来刻画非光滑情形下的解，并在现代非线性PDE理论中形成标准概念。

相关词 Related Words

• Comparison Principle
• Hamilton–Jacobi Equation
• PDE
• Subsolution
• Supersolution
• Test Function
• Weak Solution
• Regularization

文学与著作 Notable Works

• Crandall, Ishii & Lions, “User’s Guide to Viscosity Solutions of Second Order Partial Differential Equations”（1992）
• Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations（常见教材章节讨论粘性解与哈密顿—雅可比方程）
• Fleming & Soner, Controlled Markov Processes and Viscosity Solutions（控制论与随机过程背景下的粘性解）
• Guy Barles, Solutions de viscosité des équations de Hamilton-Jacobi（专著，系统论述粘性解理论）