Bolzano Theorem

定义 Definition

Bolzano Theorem（博尔察诺定理）通常指数学分析中的一个基本结论：若实函数在闭区间 \([a,b]\) 上连续，且 \(f(a)\) 与 \(f(b)\) 异号（即 \(f(a)\cdot f(b)<0\)），则在区间 \((a,b)\) 内至少存在一点 \(c\)，使得 \(f(c)=0\)。它是介值定理与零点存在性的重要表述之一。
（在不同教材中也常与“介值定理/博尔察诺—柯西定理”的表述互相关联。）

发音 Pronunciation (IPA)

/bɔːlˈzɑːnoʊ ˈθiːərəm/

例句 Examples

The Bolzano theorem guarantees a root between 1 and 2 if the function is continuous and changes sign.
如果函数连续且在 1 和 2 处异号，博尔察诺定理保证在 1 与 2 之间存在一个零点。

Using the Bolzano theorem, we can justify the existence of a solution to the equation without computing it explicitly, provided continuity on the interval is established.
借助博尔察诺定理，只要证明该区间上的连续性，我们就能在不显式求解的情况下论证方程解的存在。

词源 Etymology

Bolzano来自捷克裔数学家与哲学家 Bernard Bolzano（贝尔纳德·博尔察诺）的姓氏；theorem源自希腊语 theōrēma（意为“可被观察/思辨得到的结论”）。该定理名称用于纪念博尔察诺对分析基础与连续性相关思想的早期贡献；后来在教材传统中与“介值性质”紧密绑定并广泛传播。

相关词 Related Words

• Intermediate Value Theorem
• Continuity
• Root
• Zero
• Sign Change
• Bisection Method
• Bolzano–Weierstrass Theorem
• Cauchy

文学与名著用例 Literary Works

• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis（《数学分析原理》）：在讨论连续函数的基本性质与介值性质时出现相关表述与应用。
• Tom M. Apostol, Calculus, Vol. 1（《微积分》上册）：用连续性与介值思想证明方程零点存在，并常以“Bolzano 定理/介值定理”语境出现。
• G. H. Hardy, A Course of Pure Mathematics（《纯数学教程》）：在实分析基础章节中使用介值性质来支撑零点与方程解存在性的论证。