Cauchy-Schwarz Inequality

释义 Definition

柯西–施瓦茨不等式：在线性代数与分析中，一个基本不等式，描述两个向量（或两个函数）“相似程度”的上界。常见形式为
\[ |\langle x, y\rangle| \le \|x\|\;\|y\| \] 其中 \(\langle x,y\rangle\) 是内积，\(\|x\|\) 是范数。它常用于证明不等式、估计误差、推导相关系数与方差等结论。（也有积分/求和等对应形式。）

例句 Examples

The Cauchy-Schwarz inequality shows that \(|a\cdot b| \le \|a\|\|b\|\).
柯西–施瓦茨不等式说明 \(|a\cdot b| \le \|a\|\|b\|\)。

Using the Cauchy-Schwarz inequality, we can bound the integral and prove the sequence converges.
利用柯西–施瓦茨不等式，我们可以对该积分作上界估计，并证明该序列收敛。

发音 Pronunciation

/ˌkoʊʃi ˈʃwɑːrts ˌɪnɪˈkwɑːləti/

词源 Etymology

该名称来自两位数学家：Augustin-Louis Cauchy（柯西）与Hermann Schwarz（施瓦茨）。不等式的思想在19世纪逐步发展并被系统化，后来在内积空间理论中成为核心工具之一，因此常以两人姓氏并列命名。

相关词 Related Words

• Inner Product
• Norm
• Vector
• Dot Product
• Triangle Inequality
• Hölder's Inequality
• Minkowski Inequality
• Variance
• Correlation

文学作品/著作中的出现 Literary Works

• Rudin, Principles of Mathematical Analysis：在讨论不等式、度量/范数与收敛性证明时常用到该不等式。
• Axler, Linear Algebra Done Right：在内积空间、正交性与算子估计中使用柯西–施瓦茨不等式。
• Steele, The Cauchy-Schwarz Master Class：专门围绕该不等式展开，展示其在竞赛数学与不等式证明中的大量应用。
• Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications：在概率论中用于推导期望、方差与相关界（如用内积观点处理随机变量）。