Minkowski Inequality

定义 Definition

Minkowski inequality（闵可夫斯基不等式）是关于 L^p 空间中范数的一个基本不等式，描述了“和的范数不超过范数之和”，是三角不等式在积分/序列形式下的推广。常见表述为：对 \(p \ge 1\)， \[ \|f+g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p, \] 或对序列 \((a_i),(b_i)\), \[ \Big(\sum_i |a_i+b_i|^p\Big)^{1/p} \le \Big(\sum_i |a_i|^p\Big)^{1/p} + \Big(\sum_i |b_i|^p\Big)^{1/p}. \] （在数学语境中也可能涉及更一般的测度空间形式。）

发音 Pronunciation

/ˈmɪŋkəfski ɪnˈiːkwəlɪti/

例句 Examples

Minkowski inequality shows that the Lp norm satisfies a triangle inequality.
闵可夫斯基不等式表明 Lp 范数满足一种三角不等式。

Using Minkowski inequality, we can bound \(\|f+g+h\|_p\) by \(\|f\|_p+\|g\|_p+\|h\|_p\) for \(p\ge1\), which is crucial in many convergence proofs.
利用闵可夫斯基不等式，对于 \(p\ge1\) 我们可以用 \(\|f\|_p+\|g\|_p+\|h\|_p\) 来上界 \(\|f+g+h\|_p\)，这在许多收敛性证明中非常关键。

词源 Etymology

Minkowski来自数学家 Hermann Minkowski（赫尔曼·闵可夫斯基）的姓氏；该不等式与他在几何与数论相关研究背景下发展出的思想体系有关。Inequality 源自拉丁语系词根，表示“不等式/不相等的关系”。整体短语即“闵可夫斯基提出/相关的那个不等式”。

相关词 Related Words

• Holder Inequality
• Triangle Inequality
• Lp Space
• Norm
• Cauchy-Schwarz Inequality
• Measure
• Convergence

文学与名著出现 Literary Works

• Walter Rudin, Real and Complex Analysis（常在 L^p 空间与积分不等式章节中出现）
• Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications（测度论与 L^p 空间的核心工具之一）
• Elias M. Stein & Rami Shakarchi, Functional Analysis: Introduction to Further Topics in Analysis（泛函分析中讨论范数与不等式时出现）
• Terence Tao, An Introduction to Measure Theory（作为 L^p 理论基本不等式之一出现）