Continuous Mapping Theorem

定义 Definition

连续映射定理是概率论与统计渐近理论中的基本结果：如果随机变量（或随机向量）序列 \(X_n\) 以某种方式收敛到 \(X\)（最常见的是依分布收敛，记作 \(X_n \Rightarrow X\)），并且函数 \(g\) 在 \(X\) 取值的相关点上连续，那么经过变换后的序列也会相应收敛，例如
\[ X_n \Rightarrow X \quad \Longrightarrow \quad g(X_n) \Rightarrow g(X). \] 它也有针对依概率收敛、几乎处处收敛等模式的对应版本（条件略有不同）。

发音 Pronunciation (IPA)

/kənˈtɪnjuəs ˈmæpɪŋ ˈθiːərəm/

例句 Examples

We use the continuous mapping theorem to study the limit of a statistic.
我们用连续映射定理来研究一个统计量的极限。

Since \(X_n \Rightarrow X\) and \(g\) is continuous, the continuous mapping theorem implies \(g(X_n) \Rightarrow g(X)\), which simplifies the proof.
由于 \(X_n \Rightarrow X\) 且 \(g\) 连续，连续映射定理推出 \(g(X_n) \Rightarrow g(X)\)，从而简化了证明。

词源 Etymology

该短语由三部分组成：continuous（“连续的”，源自拉丁语 continuus，有“不断开、连贯”之意），mapping（“映射/函数变换”，常用于数学中的函数概念），theorem（“定理”，源自希腊语 theōrēma，指经过证明的命题）。在现代概率论中，“continuous mapping theorem”用来概括“连续函数保持（某些）收敛性”的核心思想。

相关词 Related Words

• Slutsky’s Theorem
• Portmanteau Theorem
• Weak Convergence
• Convergence In Distribution
• Convergence In Probability
• Almost Sure Convergence
• Delta Method
• Continuous Function
• Measurable Function

文学与经典著作中的出现 Literary Works

• Patrick Billingsley, Convergence of Probability Measures（系统讨论弱收敛与连续映射定理的经典著作）
• A. W. van der Vaart, Asymptotic Statistics（渐近统计中频繁用到该定理与其推论）
• Rick Durrett, Probability: Theory and Examples（在收敛与极限定理章节中常配套使用）
• Galen R. Shorack & Jon A. Wellner, Empirical Processes with Applications to Statistics（经验过程与弱收敛框架下的标准工具之一）