Irregular Singular Point

定义 Definition

在常微分方程（尤其是线性常微分方程）的理论中，irregular singular point（不规则奇点）指某个点是方程的奇点，但其“发散程度”比regular singular point（正则奇点）更强，使得解在该点附近通常不能用简单的 Frobenius 级数形式良好表示，常会出现更复杂的渐近行为（例如含指数型因子、Stokes 现象等）。
（注：不同教材会用等价但略有差异的判别表述；最常见的语境是二阶线性方程与复平面解析理论。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ɪˈrɛɡjələr ˈsɪŋɡjələr pɔɪnt/

例句 Examples

An irregular singular point can make solutions behave wildly near that value.
不规则奇点会使解在该取值附近表现得非常复杂、甚至“剧烈”变化。

For the differential equation, infinity is an irregular singular point, so we analyze the solution using asymptotic expansions rather than a simple power series.
对这个微分方程来说，无穷远点是不规则奇点，因此我们更常用渐近展开而不是简单幂级数来分析解。

词源 Etymology

该术语由三部分构成：irregular（不规则的） + singular（奇异的/奇点的） + point（点）。其中 singular 源自拉丁语 singularis（单一的、特殊的），在数学中引申为“使表达式失去良好性质的点”（如系数不解析、解不再正常）。Irregular singular point 作为微分方程领域的固定术语，用来区分“奇点中较温和的正则奇点”与“更强、更难处理的不规则奇点”。

相关词 Related Words

• Asymptotic
• Frobenius
• Holomorphic
• Monodromy
• Ordinary Point
• Regular Singular Point
• Singularity
• Stokes Phenomenon

文学/著作中的用例 Works

• Ordinary Differential Equations — E. L. Ince（讨论奇点分类、含不规则奇点的方程）
• Theory of Ordinary Differential Equations — E. A. Coddington & N. Levinson（线性方程奇点与渐近理论）
• Differential Equations and Dynamical Systems — Lawrence Perko（在相关理论背景中涉及奇点与解的局部性质）
• A Course in Ordinary Differential Equations — Gerald Teschl（常微分方程理论中对奇点与解结构的讲解）
• Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems — Boyce & DiPrima（教材体系中常提到正则/非正则奇点的基本概念）