Upper Envelope

Definition / 定义

upper envelope（上包络/上包络线）：在数学、经济学与工程中，指一组函数（或曲线）在每个自变量取值处的点态最大值所形成的那条曲线；也可指一组信号/波形的上边界轮廓。常用于比较多条曲线的“最高边界”、做最优选择或分析“包络（envelope）”性质。（在不同领域也会有更具体的定义与用法。）

Pronunciation / 发音

/ˈʌpər ˈenvəloʊp/

Examples / 例句

The graph shows the upper envelope of three curves.
这张图展示了三条曲线的上包络线。

In optimization, the value function can be written as the upper envelope of a family of linear functions, which helps explain why it is convex.
在优化问题中，价值函数可写成一族线性函数的上包络，这有助于解释它为何是凸的。

Etymology / 词源

upper 来自古英语 ūpper，表示“更高的、上面的”。envelope 源自法语 envelopper（包裹、裹住），其名词含义引申为“包层、外壳”。在数学与工程里，“envelope（包络）”借用“包裹住一组曲线/波形边界”的形象含义，upper envelope 就是“包络中的上边界”。

Related Words / 相关词

• Envelope
• Lower Envelope
• Supremum
• Upper Bound
• Convex
• Value Function
• Envelope Theorem

Literary Works / 文学作品

• Convex Analysis（R. Tyrrell Rockafellar）——在凸分析语境中讨论函数族的上包络与相关性质。
• Microeconomic Theory（Mas-Colell, Whinston, Green）——在微观经济理论中与价值函数、包络/上界思想相关的表述中常见。
• Methods of Mathematical Economics / Mathematical Methods and Models for Economists（如 Chiang 等经典教材）——在优化与比较静态分析中常用“包络”与“上包络”表述。