Bistochastic Matrix

Definition / 定义

bistochastic matrix（双随机矩阵/双重随机矩阵）：指一个元素非负的方阵，使得每一行元素之和都等于 1，且每一列元素之和也都等于 1。它常用于概率、组合、最优化与矩阵分析中（也常被称为 doubly stochastic matrix）。

Pronunciation / 发音

/ˌbaɪstəˈkæstɪk ˈmeɪtrɪks/

Examples / 例句

A bistochastic matrix has nonnegative entries, and every row and column sums to 1.
双随机矩阵的元素非负，并且每一行与每一列的和都等于 1。

By the Birkhoff–von Neumann theorem, any bistochastic matrix can be written as a convex combination of permutation matrices.
根据 Birkhoff–von Neumann 定理，任何双随机矩阵都可以表示为若干置换矩阵的凸组合。

Etymology / 词源

bi- 表示“两个/双”，stochastic 来自希腊语 stokhastikos，含“推测的、与概率相关的”之意；合起来强调“在两个方向（行与列）都满足随机性约束（和为 1）”的矩阵性质。

Related Words / 相关词汇

• Doubly Stochastic Matrix
• Stochastic Matrix
• Permutation Matrix
• Markov Chain
• Birkhoff–von Neumann Theorem
• Birkhoff Polytope
• Sinkhorn–Knopp Algorithm
• Majorization

Literary Works / 文学作品

• Inequalities（Hardy, Littlewood & Pólya）：在讨论majorization（主序/主化）等主题时会涉及双随机矩阵相关思想。
• Matrix Analysis（Horn & Johnson）：在矩阵理论与相关定理讨论中出现（含与双随机/置换矩阵相关的结果）。
• Inequalities: Theory of Majorization and Its Applications（Marshall, Olkin & Arnold）：系统讨论主序理论时频繁使用双随机矩阵作为核心工具之一。