Generalized Eigenvector

释义 Definition

广义特征向量：在线性代数中，针对广义特征值问题
\[ A\mathbf{x}=\lambda B\mathbf{x} \] 若存在非零向量 \(\mathbf{x}\) 满足上式，则 \(\mathbf{x}\) 称为对应特征值 \(\lambda\) 的广义特征向量（其中 \(A,B\) 通常为同阶矩阵）。常见于振动分析、约束系统、数值计算与工程建模中。
（注：在更高阶理论里，“generalized eigenvector”也可指与 Jordan 链相关的“广义特征向量”，但最常见用法是指上面的 \(A x=\lambda B x\) 情形。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈdʒɛnərəlaɪzd ˈaɪɡənˌvɛktər/

例句 Examples

We computed a generalized eigenvector to solve \(A x = \lambda B x\).
我们计算了一个广义特征向量来求解 \(A x = \lambda B x\)。

In structural dynamics, the mode shapes are generalized eigenvectors of the stiffness and mass matrices.
在结构动力学中，振型是刚度矩阵与质量矩阵对应的广义特征向量。

词源 Etymology

generalized 意为“广义的/推广的”，来自 general（一般的）加上表示“使……化/……的”的后缀。eigenvector 中的 eigen- 源自德语 eigen（“自身的/本征的”），特征值/特征向量概念在 19–20 世纪的数学与物理文献中常以德语传统命名沿用至今；“广义特征向量”则是把标准特征向量问题 \(A x=\lambda x\) 推广到成对矩阵（矩阵铅笔）\(A,B\) 的情形。

相关词 Related Words

• Eigenvector
• Eigenvalue
• Matrix
• Linear Algebra
• Generalized Eigenvalue Problem
• Matrix Pencil
• Diagonalization
• Spectral Decomposition
• Jordan Form
• Rayleigh Quotient

文学与经典著作 Literary Works

• Matrix Computations（Gene H. Golub, Charles F. Van Loan）——数值线性代数中系统讨论广义特征值/特征向量计算。
• Numerical Linear Algebra（Lloyd N. Trefethen, David Bau III）——介绍特征问题与相关数值方法（含推广形式的讨论背景）。
• The Algebraic Eigenvalue Problem（J. H. Wilkinson）——经典著作，涉及广义特征值问题的理论与算法脉络。
• Finite Element Procedures（Klaus-Jürgen Bathe）——在结构与振动的有限元分析中频繁出现广义特征向量（模态）。