Regular Singular Point

定义 Definition

regular singular point（正则奇点/正规奇点）：在线性常微分方程中，某点是“奇点”（系数在该点不解析），但奇性的程度“可控”，使得方程在该点附近仍常可用Frobenius 级数法（幂级数乘以 \(x^r\)）求解。
常见于二阶线性方程 \(y''+P(x)y'+Q(x)y=0\)：若在 \(x=x_0\) 处，\((x-x_0)P(x)\) 与 \((x-x_0)^2Q(x)\) 在 \(x_0\) 附近解析，则 \(x_0\) 为 regular singular point。
（另有更“严重”的 irregular singular point：不满足上述条件。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈrɛɡjələr ˈsɪŋɡjələr pɔɪnt/

例句 Examples

\(x=0\) is a regular singular point of the differential equation.
\(x=0\) 是该微分方程的一个正则奇点。

Near a regular singular point, we often use the Frobenius method to construct series solutions and derive the indicial equation.
在正则奇点附近，常用 Frobenius 方法构造级数解，并推出指标方程。

词源 Etymology

• regular 源自拉丁语 regularis（“按规则的、规范的”），强调“可按规则处理”。
• singular 源自拉丁语 singularis（“单一的、特殊的”），在数学语境里常指“不同于一般情形的点”，即出现非解析/发散等“异常”的位置。
  合起来表示：虽然是“异常点”（singular），但异常程度仍“规则、可控”（regular），因此可用标准方法（如 Frobenius）系统处理。

相关词 Related Words

• Ordinary Point
• Singular Point
• Irregular Singular Point
• Frobenius Method
• Indicial Equation
• Series Solution
• Linear ODE
• Second-Order Differential Equation

文献与作品 Literary / Notable Works

• Theory of Ordinary Differential Equations（Coddington & Levinson）——系统讨论正则奇点与解的结构。
• Ordinary Differential Equations（E. L. Ince）——经典教材，Frobenius 方法与正则奇点为核心内容之一。
• A Course of Modern Analysis（Whittaker & Watson）——在特殊函数与微分方程背景下频繁出现该术语。
• Differential Equations（Shepley L. Ross）等常微分方程教材中也常以“regular singular point”引入级数解法与指标方程。