Generalized Eigenvalue

定义 Definition

广义特征值：在线性代数中，若给定一对矩阵 \((A, B)\)，满足
\[ A\mathbf{x}=\lambda B\mathbf{x} \] 且存在非零向量 \(\mathbf{x}\neq \mathbf{0}\)，则标量 \(\lambda\) 称为该矩阵对的广义特征值（\(\mathbf{x}\) 称为广义特征向量）。它是普通特征值问题 \(A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}\) 的推广（可视为 \(B=I\) 的特例）。在工程、振动分析、约束优化与数值计算中非常常见。

例句 Examples

The generalized eigenvalues of \((A,B)\) can be computed using a QZ algorithm.
\((A,B)\) 的广义特征值可以用 QZ 算法计算。

In structural dynamics, solving \(Kx=\lambda Mx\) yields generalized eigenvalues that correspond to squared natural frequencies under the mass matrix constraint.
在结构动力学中，求解 \(Kx=\lambda Mx\) 会得到与“在质量矩阵约束下的固有频率平方”对应的广义特征值。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈdʒɛnərəlaɪzd ˈaɪɡənˌvæljuː/

词源 Etymology

generalized 来自 generalize（“推广、泛化”），表示把某个概念从特殊情形扩展到更一般的情形；eigenvalue 中的 eigen- 源自德语 eigen（“自身的、固有的”），在数学里表示“系统固有的量”。因此 generalized eigenvalue 字面含义就是“推广后的固有值”，对应把标准特征值方程 \(Ax=\lambda x\) 推广到 \(Ax=\lambda Bx\)。

相关词 Related Words

• Eigenvalue
• Eigenvector
• Generalized Eigenvector
• Generalized Eigenproblem
• Matrix Pencil
• Generalized Schur Decomposition
• QZ Algorithm
• Rayleigh Quotient
• Definite Pencil

文学与名著用例 Literary Works

• Golub & Van Loan, Matrix Computations（矩阵计算经典教材；讨论广义特征值问题与 QZ 算法）
• Horn & Johnson, Matrix Analysis（矩阵分析权威著作；涉及矩阵对/矩阵铅笔与广义谱）
• Stewart & Sun, Matrix Perturbation Theory（矩阵扰动理论；讨论广义特征值对扰动的敏感性）
• Bai, Demmel, Dongarra, Ruhe, van der Vorst (eds.), Templates for the Solution of Algebraic Eigenvalue Problems（特征值问题求解“模板”书；包含广义特征值方法与应用）